SISTEM DAN KODE-KODE BILANGAN

SISTEM DAN KODE-KODE BILANGAN

1.1 Bilangan Desimal

Sistem bilangan puluhan atau desimal (decimal system) adalah sistem bilangan

yang kita pergunakan sehari-hari. Sistem bilangan ini disusun oleh sepuluh simbol angka yang mempunyai nilai yang berbeda satu sama lain dan karena itu dikatakan bahwa dasar/basis atau akar (base, radix) dari pada sistem bilangan ini adalah sepuluh. Kesepuluh angka dasar tersebut, sebagaimana telah kita ketahui, adalah:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Nilai yang terkandung dalam setiap simbol angka secara terpisah (berdiri sendiri) disebut nilai mutlak (absolute value). Jelaslah bahwa harga maksimum yang dapat dinyatakan oleh hanya satu angka adalah 9. Harga-harga yang lebih besar dapat dinyatakan hanya dengan memakai lebih dari satu angka secara bersama-sama. Nilai yang dikandung oleh setiap angka di dalam suatu bilangan demikian ditentukan oleh letak angka itu di dalam deretan di samping oleh nilai mutlaknya. Cara penulisan ini disebut sebagai sistem nilai (berdasarkan) letak/posisi (positional value system). Angka yang berada paling kanan dari suatu bilangan bulat tanpa bagian pecahan disebut berada pada letak ke 0 dan yang di kirinya adalah ke 1, ke 2 dan seterusnya sampai dengan ke (n-1) jika bilangan itu terdiri dari n angka. Nilai letak dari pada angka paling kanan, yaitu kedudukan ke 0, adalah terkecil, yaitu  = 1. Nilai letak ke 1 adalah , nilai letak ke 2 adalah  = 100, dan seterusnya nilai letak ke n-1 adalah    .

Untuk bilangan yang mengandung bagian pecahan, bagian bulat dan pecahannya dipisahkan oleh tanda koma (tanda titik di Inggris, Amerika, dan lainlain). Angka di kanan tanda koma puluhan (decimal point) disebut pada kedudukan negatif, yaitu letak ke -1, ke -2 dan seterusnya dan nilai letaknya adalah , , dan seterusnya  untuk kedudukan ke (-m) di kanan koma puluhan. Nilai yang diberikan oleh suatu angka pada suatu bilangan adalah hasil kali dari pada nilai mutlak dan nilai letaknya. Jadi, nilai yang diberikan oleh angka 5 pada bilangan 1253,476 adalah 5x = 50 dan yang diberikan oleh angka 7 adalah 7x= 0,07.

Secara umum, suatu bilangan puluhan yang terdiri atas nangka di kiri tanda koma puluhan dan m angka di kanan tanda koma puluhan, yang dapat dinyatakan dalam bentuk:

N =   ...  , ...

mempunyai harga yang dapat dinyatakan dalam bentuk:

N = an-1 10n-1 + an-2 10n-2 +...+ a1 101 + a0 100 + a-1 10-1 + a-2 10-2 + ...+ a-m 10-m.

(1.1)

ü  Bilangan desimal yang dikenal dari 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

ü  Bilangan Radik : 10

ü  Misalnya :  2510 = 2x10¹ + 5x10⁰

= 20 + 5

= 25.

1.2 Biner, Oktal dan Heksadesimal

Secara umum, semua sistem digital bekerja dengan sistem bilangan biner (binary) sehingga sistem binerlah yang paling penting dalam sistem digital. Selain sistem bilangan biner, sistem yang paling umum dipakai dalam pengkodean instruksi untuk komputer digital adalah sistem bilangan oktal dan hekadesimal. Harga dalam desimal (puluhan) yang dinyatakan oleh suatu bilangan biner, oktal, heksadesimal atau yang lain-lain yang bukan desimal dapat dihitung dengan memakai rumus:

an-1an-2... a1a0 a-1a-2... a-m = an-1 + an-2 +... + a1 +a0 

+ a-1 + ... + a-m 

(1.2)

dengan: an-1 = angka yang paling kiri,

  R     = Angka dasar dari pada sistem bilangan

  n      = cacah angka yang menunjukan bilangan bulat

  m     = cacah angka yang menunjukkan bilangan pecahan

Persamaan (1.2), yang merupakan bentuk umum dari pada persamaan (1.1), berlaku untuk semua sistem bilangan yang berdasarkan letak yang tegas. Untuk semua sistem bilangan seperti bilangan Romawi, misalnya, persamaan ini tentunya tak dapat dipergunakan.

1.2.1        Bilangan Biner

Sistem bilangan biner mempunyai hanya dua macam simbol angka, yaitu 0 dan 1, dan karena itu dasar dari sistem bilangan ini adalah dua. Harga yang ditunjukkan oleh bilangan biner dalam puluhan dapat dihitung dengan memakai persamaan (1.2) di atas dengan memasukkan R= 2 ke dalamnya. Sebagai contoh, harga bilangan biner 101,01 adalah :

1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 + 0 x 2-1 + 1 x 2-2 = 5,25

Dapat disadari bahwa bila kita bekerja dengan lebih dari satu bilangan, maka kita akan mengalami kebingungan bila kita tidak memakai suatu tanda yang menyatakan dasar setiap bilangan. Untuk mencegah hal ini, pada setiap bilangan dicantumkan dasar bilangannya, seperti (101)2 atau 1012 untuk menyatakan bilangan 101 dalam biner. Jadi, contoh diatas dapat dituliskan sebagai :

= 

Untuk uraian selanjutnya, kita akan memakai cara penulisan ini bilamana diperlukan. Bilamana dasar dari pada bilangan sudah jelas dari uraian ataupun bila kita hanya membicarakan satu sistem bilangan, tentunya kita tidak perlu dan tak akan memberikan tanda tersebut. Didalam praktek pemrograman komputer, sering tanda tersebut hanya diberikan kepada bilangan yang bukan puluhan.

ü  Bilangan yang dikenal dari 0,1.

ü  Bilangan Radik : 2

ü  Misalnya : 1012 = 1*2² + 0*2¹+1*2⁰

= 4 + 0 + 1

= 5

1.2.2        Bilangan Oktal

Bilangan Oktal mempunyai delapan macam simbol angka, yaitu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan karena itu, dasar daripada bilangan ini adalah delapan. Harga desimal yang dinyatakan oleh suatu bilangan oktal diperoleh dengan memasukkan R= 8 kedalam pers. (1.2) di depan. Sebagai contoh:

(235,1)8 = 2 x 82 + 3 x 81 + 5 x 80 + 1 x 8-1 = (157,125)10.

ü  Bilangan yang dikenal dari 0,1,2,3,4,5,6,7.

ü  Bilangan Radik : 8

ü  Misalnya : 258 = 2 * 8¹ + 5 * 8⁰

= 16+5 = 21

1.2.3        Bilangan Heksadesimal

Sistem bilangan Heksadesimal terdiri atas 16 simbol angka sehingga bilangan dasarnya adalah 16. Sepuluh dari simbol tersebut diambil dari kesepuluh simbol angka pada sistem bilangan puluhan dan enam angka yang lain diambil dari huruf dalam abjad A - F. Jadi, ke-16 simbol heksadesimal adalah: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Huruf-huruf A, B, C, D, C dan F secara berturut-turut bernilai 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Harga desimal yang dinyatakan oleh bilangan heksadesimal juga dapat dihitung dengan memasukkan harga R = 16 kedalam pers. (1.2) di depan. Sebagai contoh :

 = 3 x 162 + 12 x 161 + 5 x 160 + 10 x 16-1= 

ü  Bilangan yang dikenal dari 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.

ü  Bilangan Radik : 16

ü  Misalnya :

2516 = 25H

= 2*16¹ +5*16⁰

= 32+5

= 37                    

BINARY CODE DECIMAL (BCD)

BCD adalah sandi yang mengkonversi bilangan desimal langsung ke bilangan binernya sehingga ∑ BCD adalah 10, sebagaimana ∑ bil. desimal.

Tabel konversi BCD

BIL. DESIMAL	8	4	2	1
0	0	0	0	0
1	0	0	0	1
2	0	0	1	0
3	0	0	1	1
4	0	1	0	0
5	0	1	0	1
6	0	1	1	0
7	0	1	1	1
8	1	0	0	0
9	1	0	0	1

CONTOH SOAL :

1. Berapa byte yang terdapat pada masing-masing bilangan berikut :

a. 1100 0101

b. 1011 1001 0110 1110

c. 1111 1011 0111 0100 1010

Penyelesaian:

1 byte = 8 bit

a. 1100 0101     = 1 byte

b. 1011 1001 0110 1110 = 2 byte

c. 1111 1011 0111 0100 1010 = 2,5 byte

2. Tentukan bilangan desimal yang ekivalen dengan masing-masing bilangan biner berikut ini :

10, 110, 111, 1011, 1100, 1110

Penyelesaian:

Setiap biner memiliki nilai yang berbeda, dengan urutan nilai 8 4 2 1. Memiliki 4bit bilangan pada setiap binernya sehingga untuk biner yang kurang dari 4 harus atau anggap saja pada sisi sebelah () kiri harus di tambah 0.

Jadi, 0010 = 2, 0110 = 6, 0111 = 7, 1011= 11, 1100 = 12 , 1110 = 14

3. Tuliskan persamaan berikut dengan bilangan biner :

2 + 2 = 4

Penyelesaian :

2=> 0010

2=> 0010 +

4=> 0100

4. Ubahlah desimal 56 menjadi biner

Penyelesaian :

56_{10 = ...... 2}

56 : 2 = 28 sisa 0

28 : 2 = 14 sisa 0

14 : 2 = 7 sisa 0

7 : 2 = 3 sisa 1

3 : 2 = 1 sisa 1

1 : 2 = 0 sisa 1

Angka yang di ambil adalah angka sisa dari pembagian. Di ambil dari urutanbawah        ke atas.

Jadi 56_{10 =} 111000₂